Curso: MATEMÁTICA

General

Periodo de intensificación: Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

$\mathbb{Z}=\left \{ ...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... \right \}$

Los números enteros se dividen en tres partes:

Tipos de números enteros gráfica

1 Enteros positivos o números naturales

2 Enteros negativos

3 Cero

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales como un subconjunto de los enteros.

Diagrama de Venn de los números enteros y los números naturales

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. Otra forma de ver el valor absoluto es la distancia entre 0 y este número, la distancia siendo siempre positiva.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

Ejemplo:

$\left | -5 \right |=5$

$\left | 5 \right |=5$

Representación de los números enteros

1 En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2 A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos:

3 A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos:

Operaciones con números enteros

SUMA de números enteros:

Vamos a distinguir tres casos:

a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo:

3 + 4 + 8 = 15

b) Si todos los números son negativos se suman y el resultado es negativo:

(-3) + (-4) + (-8) = -15

c) Si se suman números positivos y negativos, los positivos suman y los negativos restan:

3 + (-4) + 5 + (-7)

Por un lado sumamos los números positivos: 3 + 5 = 8

Por otro lado sumamos los números negativos: (-4) + (-7) = -11

Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta:

8 - 11 = -3

¿Cómo a 8 le podemos restar 11? Ponemos como minuendo la cifra mayor (11) y como sustraendo la menor (8), pero el resultado toma cómo signo el de la cifra mayor (en este ejemplo toma el signo " - " porque 11 es negativo)

11 - 8 = 3

Pero le ponemos el signo " - ", luego el resultado es "-3"

Resta de números enteros

Una resta de números enteros se puede resolver como si se tratara de una suma, pero con una particularidad:

El símbolo de la resta le cambia el signo a la cifra que le sigue, por lo que:

Si el número que se resta es positivo lo convierte en negativo.

Si el número que se resta es negativo lo convierte en positivo.

Vamos a ver a continuación cuatro posibles casos:

a) A un número positivo le restamos otro número positivo:

3 - 2

Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (2) le tenemos que cambiar el signo

= 3 + (-2)

Por un lado sumamos los números positivos: 3

Por otro lado sumamos los números negativos: (-2)

Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta:

3 - 2 = 1

b) A un número positivo le restamos un número negativo:

3 - (-4)

Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo

= 3 + (4)

Se trataría ya de una suma normal:

= 3 + (4) = 7

c) A un número negativo le restamos otro número negativo:

(-3) - (-4)

Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo

= (-3) + (4)

Por un lado sumamos los números positivos: 4

Por otro lado sumamos los números negativos: (-3)

Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta:

4 - 3 = 1

d) A un número negativo le restamos un número positivo:

(-3) - 4

Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (4) le tenemos que cambiar el signo (-4)

= (-3) + (-4)

Se trataría de una suma de dos números negativos. Es una suma normal pero el resultado tiene signo negativo:

= (-3) + (-4) = -7

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se multiplican sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se dividen sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos:

Multiplicación División

(+) ⋅(+) = + (+) : (+) = +

(−) ⋅(−) = + (−) : (−) = +

(+) ⋅(−) = − (+) : (−) = −

(−) ⋅(+) = − (−) : (+) = −

Por ejemplo:

a) (+5) ⋅ (−3) = −15	b) (−5) ⋅ (−3) = +15	c) (+5) ⋅ (+3) = +15	d) 5 ⋅ 3 = 15
e) (+20) : (−4) = −5	f) (−20) : (−4) = +5	g) (+20) : (+4) = +5	h) 20 : 4 = 5

Para repasar el tema:
El producto de dos números enteros de igual signo es un número positivo. 5 × 4 = 20 −7 × (−2) = +14
El producto de dos números enteros de distinto signo es un número negativo. 8 × (−7) = −56 (−9) × 2 = −18
El cociente de dos números de igual signo es un número positivo. 21 ÷ 7 = 3 −16 ÷ (−2) = 8
El cociente de dos números de distinto signo es un número negativo. 60 ÷ (−12) = −5 −15 ÷ 5 = −3

Operaciones combinadas con números enteros

Las operaciones combinadas o mixtas son operaciones compuestas por varias operaciones (sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones).

En estas operaciones, la multiplicación y la división tienen prioridad sobre la suma y la resta. Los paréntesis pueden utilizarse para cambiar este orden.