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Diagrama de temas
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La función polinómica de segundo grado f(x) = ax2 + bx +c , siendo a,b y c números reales y a≠0. se denomina función cuadrática.
Donde:
ax2 = término cuadrático
bx = término lineal
c = término independiente
Representación Gráfica
La representación gráfica de una función de segundo grado (cuadrática) se llama
parábola.
Raíces de la parábola: son los puntos de intersección de la curva con el eje de
las abscisas. Estos puntos se pueden hallar mediante la siguiente fórmula:
Para hacerlo, se deben reemplazar los valores de los coeficientes (a, b y c) en la fórmula, y se
obtienen los valores de x.
Vértice de la Parábola: es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.
\( Xv= \frac{X1+X2}{2} \) o bien \( Xv = \frac{-b}{2a} \)
Yv = f(Xv)
👉 Se reemplaza el valor Xv que se obtuvo, en la función original, entonces se tendrán dos valores
V = (Xv ; Yv) y ese será el punto vértice de la parábola.
Eje de simetría: es la recta que tiene por ecuación a
X = Xv
Ordenada al Origen: es el punto de intersección de la gráfica con el eje de las ordenadas (eje y) y coincide con el término independiente c.
O = (0 ; c)
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Ejemplo 🤩
Dada la siguiente función: y= x2 + 2x - 3
1. Se identifican los coeficientes:
a= 1; b= 2 y el término independiente es c = -3
2. Cálculo de raíces a través de la Resolvente y se obtienen las raíces
x1=1 y x2=-3
3. Cálculo del vértice
V= (-1; -4)
4. Eje de simetría
x=-1
5. Ordenada al origen
O = (0; -3)
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Apertura: miércoles, 30 de octubre de 2024, 00:00Cierre: miércoles, 6 de noviembre de 2024, 00:00
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Ingresar al siguiente link 👉 https://www.geogebra.org/calculator/e3duqmnh
Dada la siguiente función f(x) = ax2 + bx +c. Utilizar los deslizadores disponibles en GeoGebra para modificar los valores de los coeficientes a, b y c. Analizar cómo cada variación afecta la gráfica de la parábola.
¿Cuál es el efecto de modificar el valor del coeficiente a?
¿Y qué sucede si variamos el valor de b? ¿Hacia dónde se desplaza la parábola?
¿Y con el coeficiente c?
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POSICIONES DE LA PARÁBOLA
Como se vio en la propuesta anterior 👆 concluimos que, dependiendo de los valores que adopten a, b y c, la parábola se desplazará.Si a > 0 → los brazos de la parábola van hacia arriba: cóncava
Si a < 0 → los brazos de la parábola van hacia abajo: convexa
𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄
𝒚=−𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄
Por ejemplo la siguiente parábola.
Si c > 0 → corta a y positivo (va hacia arriba)
Si c < 0 → interseca a Y negativo (va hacia abajo)
𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒄
𝒚=𝒂𝒙𝟐−𝒄
Esta parábola tiene un coeficiente c negativo
Si a y b tienen el mismo signo, la gráfica va hacia la izquierda
Si a y b tienen distinto signo, la gráfica va hacia la derecha
En este caso, a y b tienen distintos signos:
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Ecuación polinómica, canónica y factorizada
La función cuadrática puede ser expresada de distintas formas:
Pasar a polinómica → desarrollamos el cuadrado
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Expresar cada una de las funciones en la forma que se solicita:
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CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO: MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Crecimiento📈 y decrecimiento 📉
Las funciones cuadráticas tienen un tramo donde son crecientes y otro donde son decrecientes. El paso de un tramo al otro se da en el vértice, también llamado punto de inflexión.
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EJEMPLO 🤩
👉 El ingreso mensual de una empresa está dado por la siguiente función, la variable x es el precio al que se vende un producto. Se quiere saber para qué precio el ingreso mensual es MÁXIMO.
𝒇(𝒙)=−𝟔𝟎𝟎𝒙(𝒙−𝟑𝟎𝟎)
¿De qué forma está expresada la función?
Lo primero que notamos son las raíces de forma inmediata.
¿Qué hacen las raíces? ¿qué pasa si x es 300? ¿Y cuando es 150?
Identificamos las raíces: x=0 y x=300
Hallamos el vértice: \( Xv = \frac{0+300}{2} \)
Xv = 1500
Cuando el precio de venta es 150, el ingreso mensual es máximo.
𝒇(𝟏𝟓𝟎)=−𝟔𝟎𝟎.(𝟏𝟓𝟎).(𝟏𝟓𝟎−𝟑𝟎𝟎)
𝒇(𝟏𝟓𝟎)=𝟏𝟑.𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
¿En qué intervalos crece y decrece la gráfica? ¿Qué indica eso?
Si el valor es cero no se gana nada, si el precio es 300 o mayor, el ingreso mensual es NEGATIVO, es una PÉRDIDA (a medida que decrece). Si 𝑥>300→𝑓(𝑥)<0(𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎)
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Apertura: miércoles, 30 de octubre de 2024, 00:00Cierre: miércoles, 6 de noviembre de 2024, 00:00➤Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 24m/seg. La altura alcanzada por la pelota (h, expresada en metros) en función del tiempo (t, en segundos), está dada por la siguiente fórmula: 𝒉(𝒕)= −𝟑𝒕𝟐+𝟐𝟒𝒕
¿Cuál es la altura máxima?
¿En qué tiempo?
¿Cuál es el intervalo de tiempo en el que asciende la pelota?
¿Cuál es el intervalo de tiempo en el que desciende?
➤ Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la siguiente función 𝑰(𝒛)=𝟏𝟎𝟎𝟎𝒛−𝟐𝒛𝟐 donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.
¿Qué cantidad de pares de zapatos debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?
¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares? ¿y 375 pares?
¿En qué intervalos crece y decrece la parábola?
¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas? ¿en qué intervalos?
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