Matemática I

 POTENCIA DE NUMEROS ENTEROS

 

La Potencia se utiliza para abreviar la multiplicación de un mismo número, cuyo producto se realiza varias veces
El  producto   a·a·a·a·a·a  tiene sus seis factores iguales. Este producto se indica en forma abreviada como  a⁶.
A   a⁶  se llama potencia de  base  a   y  exponente  6.

Potencia  es una operación que consiste en multiplicar la base  por si mismo  tantas veces como indique el exponente
Ejemplo 1: 5³ es una potencia que tiene por base  5  y  por exponente  3;  por eso multiplicamos la base 5  tres veces: 5³ = 5·5·5 = 125
Ejemplo 2: (–3)² es una potencia de base  (–3)  y  exponente  2;  multiplicamos la base  (–3)  dos veces: 

(– 3)² = (– 3)·(– 3) = 9

Casos Especiales:

Todo número elevado a 1, es el propio número. Ejemplo 3: 5¹ = 5;  4¹ =  4: (–11)¹ = –11.
El exponente 1 no se escribe (no se pone); por lo tanto todo número que no tiene exponente, se supone que es  1
Todo número (distinto de cero) elevado a  0  es  1. Ejemplo 4: 11⁰ = 1; 329⁰ = 1; –7⁰ = 1

Conclusiones:

– Si la base es positiva, el resultado de la operación siempre es positiva sea cual sea el exponente. (en los números naturales la base siempre es  positiva)
– Si la base es negativa, el resultado de la operación depende del exponente:
     Si el exponente es par el resultado es positivo  (el producto de dos signos negativos da resultado positivo: (–)·(–) = +
     Si el exponente es impar el resultado es negativo.
Para que la base sea negativa tiene que estar entre paréntesis, en cuyo caso también hay que elevar el signo “ – “

Ejemplos:
 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32
(– 5)³ = (– 5)·(– 5)·(– 5) = –125     (base negativa con exponente impar: por tanto el signo también se multiplica tres veces).
(–7)⁴ = (–7)·(–7)·(–7)·(–7) = 2 401         (base negativa con exponente par: el signo se efectúa  4 veces).
 – 3⁴  = – 3·3·3·3 = – 81        (la base positiva: se eleva sólo la base y el signo se deja como esta)
(–3)⁴ = (–3)·(–3)·(–3)·(–3) = 81      (la base negativa y el signo también se eleva).

 PROPIEDADES DE LA POTENCIA DE NUMEROS ENTEROS

 Hoy veremos las propiedades de las potencias. ¿Para qué sirven estas propiedades? Nos permiten operar con las potencias y poder así simplificar expresiones mucho más complejas. Lo interesante de las propiedades de las potencias no es sólo saberlas, sino saber aplicarlas.

  

Propiedades de las potencias:

 
– El producto de dos o más potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
Ejemplo 1:  3²· 3³ . 3²= 3²⁺³⁺² = 3⁷ = 3·3·3·3·3.3.3 = 2187

Ejemplo 2:  (–2)⁵.(–2)⁴ = (–2)⁵⁺⁴ = (–2)⁹ = (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2) = – 512


– El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
Ejemplo 1:  4⁶ : 4³ = 4^6–3 = 4³ = 4·4·4 = 64
Ejemplo 2: 7⁵ : 7³ = 7^5–3 =7² = 7·7 = 49
   

– La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes.
Ejemplo 1: (4³)² = 4^3·2 = 4⁶ = 4·4·4·4·4·4 = 4096
Ejemplo 2:  ((–4)³ )²= (–4)^3·2 = (–4)⁶ = (–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4) = 4096

Radicación de números enteros

 

La radicación es una operación entre dos números llamados radicando e índice. Es la operación inversa a la potenciación y consiste en que, dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. ¿Qué quiere decir esto? ¿Por qué decimos que es la operación inversa a la potenciación? Para poder comprender primero debemos conocer las partes que conforman un radical:

Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra (raíz cúbica de 8). Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2³ (dos elevado al cubo) es igual a 8. Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 × 2 × 2 (dos multiplicado tantas veces como índica el índice) llegamos a la raíz cúbica de 8.

 Veamos otros ejemplos:

 

PROPIEDADES DE LA RADICACION DE NUMEROS ENTEROS

 

Las propiedades de la radicación son bastante parecidas a las propiedades de la potenciación, ya que una raíz es una potencia con exponente racional.

Ejemplo de un radical en forma de potencia:

Veremos ahora las propiedades de la radicación:

• Es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.

Veamos un ejemplo:

En la división,

En la multiplicación,

• No es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

Ejemplos:

En la suma,

En la resta

• Si el índice es par entonces el radicado tiene que ser positivo y la raíz entonces dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel utilizamos el resultado positivo.

Ejemplos,

Si el índice es impar entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando,

Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices