TODO SOBRE OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES Y ENTEROS
2. Potencia y Raíz de Números Enteros
POTENCIA DE NUMEROS ENTEROS
La
Potencia se utiliza para abreviar la
multiplicación de un mismo número, cuyo producto se realiza varias veces
El producto a·a·a·a·a·a tiene sus seis factores
iguales. Este producto se indica en forma abreviada como a6.
A a6 se llama potencia de base a
y exponente 6.
Potencia es una operación que consiste en multiplicar la
base por si mismo tantas veces como indique el exponente
Ejemplo 1: 53 es una potencia que tiene por base
5 y por exponente 3; por eso multiplicamos la
base 5 tres veces: 53 = 5·5·5 = 125
Ejemplo 2: (–3)2 es una potencia de base
(–3) y exponente 2; multiplicamos la base
(–3) dos veces:
(– 3)2 = (– 3)·(–
3) = 9
Casos Especiales:
Todo número elevado a 1, es el propio número. Ejemplo 3: 51 =
5; 41 = 4: (–11)1 = –11.
El exponente 1 no se escribe (no se pone); por lo tanto todo número que no
tiene exponente, se supone que es 1
Todo número (distinto de cero) elevado a 0 es 1. Ejemplo
4: 110 = 1; 3290 = 1; –70 =
1
Conclusiones:
– Si la base es positiva, el resultado de la operación siempre es
positiva sea cual sea el exponente. (en los números naturales la
base siempre es positiva)
– Si la base es negativa, el resultado de la operación depende del exponente:
Si el exponente es par el resultado es positivo
(el producto de dos signos negativos da resultado positivo: (–)·(–) = +
Si el exponente es impar el resultado es negativo.
Para que la base sea negativa tiene que estar entre paréntesis, en
cuyo caso también hay que elevar el signo “ – “
Ejemplos:
25 = 2·2·2·2·2 = 32
(– 5)3 = (– 5)·(– 5)·(– 5) = –125 (base
negativa con exponente impar: por tanto el signo también se multiplica
tres veces).
(–7)4 = (–7)·(–7)·(–7)·(–7) = 2
401 (base negativa con
exponente par: el signo se efectúa 4 veces).
– 34 = – 3·3·3·3 = – 81
(la base positiva: se eleva sólo la base y el signo se deja como esta)
(–3)4 = (–3)·(–3)·(–3)·(–3) = 81 (la
base negativa y el signo también se eleva).
PROPIEDADES DE LA POTENCIA DE NUMEROS ENTEROS
Hoy veremos las propiedades de las potencias. ¿Para qué sirven estas propiedades? Nos permiten operar con las potencias y poder así simplificar expresiones mucho más complejas. Lo interesante de las propiedades de las potencias no es sólo saberlas, sino saber aplicarlas.
Propiedades de las potencias:
– El producto de dos o más potencias de la misma base es otra potencia que
tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
Ejemplo 1: 32· 33 . 32= 32+3+2 =
37 = 3·3·3·3·3.3.3 = 2187
Ejemplo 2:
(–2)5.(–2)4 = (–2)5+4 = (–2)9 =
(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2) = – 512
– El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por
base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
Ejemplo 1: 46 : 43 = 46–3 =
43 = 4·4·4 = 64
Ejemplo 2: 75 : 73 = 75–3 =72 =
7·7 = 49
– La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por
base la misma y por exponente el producto de los exponentes.
Ejemplo 1: (43)2 = 43·2 = 46 =
4·4·4·4·4·4 = 4096
Ejemplo 2: ((–4)3 )2= (–4)3·2 =
(–4)6 = (–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4) = 4096
Radicación de números enteros
La radicación es una operación entre dos números llamados radicando e índice. Es la operación inversa a la potenciación y consiste en que, dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. ¿Qué quiere decir esto? ¿Por qué decimos que es la operación inversa a la potenciación? Para poder comprender primero debemos conocer las partes que conforman un radical:
Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra (raíz cúbica de 8). Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 23 (dos elevado al cubo) es igual a 8. Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 × 2 × 2 (dos multiplicado tantas veces como índica el índice) llegamos a la raíz cúbica de 8.
Veamos otros ejemplos:
PROPIEDADES DE LA RADICACION DE NUMEROS ENTEROS
Las propiedades de la radicación son bastante parecidas a las propiedades de la potenciación, ya que una raíz es una potencia con exponente racional.
Ejemplo de un radical en forma de potencia:
Veremos ahora las propiedades de la radicación:
• Es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.
Veamos un ejemplo:
En la división,
En la multiplicación,
• No
es distributiva con respecto a la suma y a la resta.
Ejemplos:
En la suma,
En la resta
• Si el índice es par entonces el radicado tiene que ser positivo y la raíz entonces dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel utilizamos el resultado positivo.
Ejemplos,
Si el índice es impar entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando,
Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices
