TODO SOBRE OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES Y ENTEROS

1. Suma y Resta de Números Enteros

Suma y Resta de números enteros

Cuando resolvemos sumas y restas de números enteros, nos podemos encontrar con varias situaciones:

1.- Suma de números enteros

Vamos a distinguir tres casos:

a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo:

3 + 4 + 8 = 15

b) Si todos los números son negativos se suman y el resultado es negativo:

(-3) + (-4) + (-8) = -15

c) Si se suman números positivos y negativos, los positivos suman y los negativos restan:

3 + (-4) + 5 + (-7)

Por un lado sumamos los números positivos: 3 + 5 = 8

Por otro lado sumamos los números negativos: (-4) + (-7) = -11

Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta:

8 - 11 = -3

¿Cómo a 8 le podemos restar 11? Ponemos como minuendo la cifra mayor (11) y como sustraendo la menor (8), pero el resultado toma cómo signo el de la cifra mayor (en este ejemplo toma el signo " - " porque 11 es negativo)

11 - 8 = 3

Pero le ponemos el signo " - ", luego el resultado es "-3"

2.- Resta de números enteros

Una resta de números enteros se puede resolver como si se tratara de una suma, pero con una particularidad:

El símbolo de la resta le cambia el signo a la cifra que le sigue, por lo que:

Si el número que se resta es positivo lo convierte en negativo.

Si el número que se resta es negativo lo convierte en positivo.

Vamos a ver a continuación cuatro posibles casos:

a) A un número positivo le restamos otro número positivo:

3 - 2

Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (2) le tenemos que cambiar el signo

= 3 + (-2)

Por un lado sumamos los números positivos: 3

Por otro lado sumamos los números negativos: (-2)

Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta:

3 - 2 = 1

b) A un número positivo le restamos un número negativo:

3 - (-4)

Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo

= 3 + (4)

Se trataría ya de una suma normal:

= 3 + (4) = 7

c) A un número negativo le restamos otro número negativo:

(-3) - (-4)

Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo

= (-3) + (4)

Por un lado sumamos los números positivos: 4

Por otro lado sumamos los números negativos: (-3)

Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta:

4 - 3 = 1

d) A un número negativo le restamos un número positivo:

(-3) - 4

Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (4) le tenemos que cambiar el signo (-4)

= (-3) + (-4)

Se trataría de una suma de dos números negativos. Es una suma normal pero el resultado tiene signo negativo:

= (-3) + (-4) = -7

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se multiplican sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se dividen sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos:

Multiplicación División

(+) ⋅(+) = + (+) : (+) = +

(−) ⋅(−) = + (−) : (−) = +

(+) ⋅(−) = − (+) : (−) = −

(−) ⋅(+) = − (−) : (+) = −

Por ejemplo:

a) (+5) ⋅ (−3) = −15	b) (−5) ⋅ (−3) = +15	c) (+5) ⋅ (+3) = +15	d) 5 ⋅ 3 = 15
e) (+20) : (−4) = −5	f) (−20) : (−4) = +5	g) (+20) : (+4) = +5	h) 20 : 4 = 5

Para repasar el tema:
El producto de dos números enteros de igual signo es un número positivo. 5 × 4 = 20 −7 × (−2) = +14
El producto de dos números enteros de distinto signo es un número negativo. 8 × (−7) = −56 (−9) × 2 = −18
El cociente de dos números de igual signo es un número positivo. 21 ÷ 7 = 3 −16 ÷ (−2) = 8
El cociente de dos números de distinto signo es un número negativo. 60 ÷ (−12) = −5 −15 ÷ 5 = −3

Operaciones combinadas con números enteros

Las operaciones combinadas o mixtas son operaciones compuestas por varias operaciones (sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones).

En estas operaciones, la multiplicación y la división tienen prioridad sobre la suma y la resta. Los paréntesis pueden utilizarse para cambiar este orden.

Ejemplo

Explicamos las operaciones básicas con números enteros (suma, resta, multiplicación y división) y proporcionamos algunos ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. ESO. Álgebra básica. Matemáticas.

Hemos calculado la multiplicación y, después, la suma.

Otro ejemplo

Hemos calculado la multiplicación y, después, la suma.

Ejemplo

En esta operación, hemos calculado primero la resta porque había un paréntesis: el $- 2$ multiplica al resultado de la resta del paréntesis.

Ejemplo

En esta operación, hemos calculado primero la suma porque había un paréntesis: el $- 16$ tiene que dividirse entre el resultado de la suma del paréntesis.

Ejercicios resueltos: operaciones combinadas

Ejercicio 1

Solución

Primero, calculamos la multiplicación:

Ejercicio 2

Solución

Primero, la resta del paréntesis:

Ejercicio 3

Solución

Primero, la resta del paréntesis:

Observad que los números y operaciones de los 3 ejercicios anteriores son los mismos, pero los resultados son distintos porque los paréntesis cambian el orden de las operaciones.